Question

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a,trọng tâm G.Độ dài vecto \(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{GC}\)

Answer 1

\(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\) ; \(\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right)\)

\(\Rightarrow x=\left|\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{GC}\right|=\frac{1}{3}\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right|\)

\(\Rightarrow x^2=\frac{1}{9}\left(AB^2+BC^2+2AB.BC.cos120^0\right)=\frac{1}{9}AB^2\)

\(\Rightarrow x=\frac{1}{3}AB=\frac{2a}{3}\)