Question

Cho tam giác ABC có O là điểm nằm trong trong tam giác.

CMR: AO+BO+CO<AB+BC+CA.

- Ai giúp em được không? Em không biết làm bài này (em nói thật),

Answer 1

Căng đấy, làm hơi lâu =))

- Gọi giao điểm của OA và BC, OC và AB, OB và AC lần lượt là D, E, F.

- Xét các tam giác:

+) △AOE có \(OA< OE+AE\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho OC ta được: \(OA+OC< OE+AE+OC\) 

\(\Rightarrow OA+OC< AE+CE\) (Do OE + OC = AE)

⇒ △CEB có \(CE< BE+BC\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho AE ta được: \(AE+CE< BE+BC+AE\) 

\(\Rightarrow AE+CE< AB+AC\) (Do BE + AE = AB) (1)

+) △BOD có \(OB< OD+BD\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho OA ta được: \(OB+OA< OD+BD+OA\) 

\(\Rightarrow OB+OA< BD+AD\) (Do OA + OD = AD)

⇒ △ADC có \(AD< AC+DC\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho BD ta được: \(BD+AD< AC+DC+BD\) 

\(\Rightarrow BD+AD< AB+BC\) (Do DC + BD = BC) (2)

+) △AOF có \(OA< AF+OF\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho OB ta được: \(OA+OB< AF+OF+OB\) 

\(\Rightarrow OF+OE< AF+BF\) (Do OF + OB = BF)

⇒ △BCF có \(BF< BC+FC\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho AF ta được: \(AF+BF< BC+FC+AF\) 

\(\Rightarrow AF+BF< BC+AC\) (Do AF + FC = AC) (3)

- Mặt khác: 

\(OA+OC+OB+OA+OC+OB< AB+AC+AB+BC+BC+AC\)

\(\Rightarrow2OA+2OB+2OC< 2AB+2AC+2BC\)

\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC\right)< 2\left(AB+AC+BC\right)\)

\(\Rightarrow OA+OB+OC< AB+AC+BC\) (đpcm).