Question

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc với nhau.Chứng minh rắng

a, a² + b²=5c²

b, cot C=2(cot A+ cot B)

Answer 1

Gọi 2 trung tuyến AD và BE cắt nhau tại G

Theo công thức trung tuyến:

\(BE^2=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}\) 

Mà \(BG=\dfrac{2}{3}BE\Rightarrow BG^2=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{9}\)

Tương tự ta có \(AG^2=\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{9}\)

Pitago cho tam giác vuông ABG:

\(AB^2=AG^2+BG^2\Leftrightarrow c^2=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{9}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=5c^2\)

Answer 2

b.

Theo định lý hàm sin:

\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinC}=\dfrac{c}{sinC}=2R\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinA=\dfrac{a}{2R}\\sinB=\dfrac{b}{2R}\\sinC=\dfrac{c}{2R}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow cotA=\dfrac{cosA}{sinA}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\dfrac{2R}{a}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{abc}.R\)

Tương tự: \(cotB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{abc}.R\); \(cotC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{abc}.R\)

\(\Rightarrow cotA+cotB=\left(b^2+c^2-a^2+a^2+c^2-b^2\right).\dfrac{R}{abc}=\dfrac{2c^2}{abc}.R\)

Mà theo câu a ta có \(5c^2=a^2+b^2\Rightarrow2c^2=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}\)

\(\Rightarrow cotA+cotB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{abc}.R=\dfrac{1}{2}cotC\)

\(\Rightarrow cotC=2\left(cotA+cotB\right)\)