Cho tam giác ABC có góc A = 60 độ. M là điểm nằm giữa B và C.
Vẽ điểm E sao cho AB là trung trực của ME, điểm F sao cho AC là trung trực của MF.
a) Chứng minh trung trực của EF đi qua A.
b) Chứng minh BE + CF = BC.
c) Tính các góc của tam giác AEF.
d) EF cắt AB, AC lần lượt ở I và K. Chứng minh MA là phân giác góc IMK.
e) Để A là trung điểm của EF thì tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì?
a) Ta có AB là trung trực của ME và AC là trung trực của MF. Vì góc A = 60 độ, nên ta có góc MEF = góc MFA = 30 độ. Do đó, tam giác MEF là tam giác đều. Khi đó, trung trực của EF sẽ đi qua trung điểm của cạnh EF, tức là đi qua A.
b) Ta có AB là trung trực của ME và AC là trung trực của MF. Vì tam giác MEF là tam giác đều, nên EM = MF. Mà AB là trung trực của ME và AC là trung trực của MF, nên AM = BM và AM = CM. Từ đó, ta có BE + CF = BM + CM = BC.
c) Vì tam giác MEF là tam giác đều, nên góc MEF = góc MFE = góc EFM = 60 độ. Ta có góc AEF = góc MEF - góc MEA = 60 độ - 30 độ = 30 độ. Tương tự, ta có góc AFE = 30 độ.
d) Ta có AB là trung trực của ME và AC là trung trực của MF. Vì góc A = 60 độ, nên góc MEF = góc MFA = 30 độ. Khi đó, ta có góc MEF = góc MFE = 30 độ. Vì tam giác MEF là tam giác đều, nên góc EFM = góc MEF = 30 độ. Do đó, góc IMK = góc EFM = 30 độ. Ta cũng có góc AIM = góc AEM = 30 độ. Vậy MA là phân giác góc IMK.
e) Để A là trung điểm của EF, ta cần tam giác ABC là tam giác đều.
a: AB là trung trực của ME
=>AE=AM và BM=BE
AC là trung trực của MF
=>AM=AF và CM=CF
AE=AM
AM=AF
=>AE=AF
=>A nằm trên trung trực của EF
b: BE+CF
=BM+CM
=BC
c:ΔAEM cân tại A
mà AB là trung trực
nên AB là phân giác của góc EAM(1)
ΔAMF cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là phân giác của góc MAF(2)
Từ (1), (2) suy ra góc EAF=2*(góc BAM+góc CAM)
=>góc EAF=2*60=120 độ
ΔAEF cân tại A
=>góc AEF=góc AFE=(180-120)/2=30 độ
d: Xét ΔAEI và ΔAMI có
AE=AM
góc EAI=góc MAI
AI chung
=>ΔAEI=ΔAMI
=>góc AEI=góc AMI
Xét ΔAMK và ΔAFK có
AM=AF
góc MAK=góc FAK
AK chung
=>ΔAMK=ΔAFK
=>góc AMK=góc AFK
góc AMK=góc AFE
góc AMI=góc AEF
mà góc AFE=góc AEF
nên góc AMK=góc AMI
=>MA là phân giác của góc IMK
e: A là trung trực của EF
=>E,A,F thẳng hàng
=>góc EAF=180 độ
=>góc BAC=180/2=90 độ
a: AB là trung trực của ME
=>AE=AM và BM=BE
AC là trung trực của MF
=>AM=AF và CM=CF
AE=AM
AM=AF
=>AE=AF
=>A nằm trên trung trực của EF
b: BE+CF
=BM+CM
=BC
c:ΔAEM cân tại A
mà AB là trung trực
nên AB là phân giác của góc EAM(1)
ΔAMF cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là phân giác của góc MAF(2)
Từ (1), (2) suy ra góc EAF=2*(góc BAM+góc CAM)
=>góc EAF=2*60=120 độ
ΔAEF cân tại A
=>góc AEF=góc AFE=(180-120)/2=30 độ
d: Xét ΔAEI và ΔAMI có
AE=AM
góc EAI=góc MAI
AI chung
=>ΔAEI=ΔAMI
=>góc AEI=góc AMI
Xét ΔAMK và ΔAFK có
AM=AF
góc MAK=góc FAK
AK chung
=>ΔAMK=ΔAFK
=>góc AMK=góc AFK
góc AMK=góc AFE
góc AMI=góc AEF
mà góc AFE=góc AEF
nên góc AMK=góc AMI
=>MA là phân giác của góc IMK
e: A là trung trực của EF
=>E,A,F thẳng hàng
=>góc EAF=180 độ
=>góc BAC=180/2=90 độ
