Question

cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và có ba đường cao AD, CF, BE cắt nhau tại H

a, chứng minh tứ giác BCEF, AEHF nội tiếp 

b, Chứng minh EH.EB=EA.EC

c, chứng minh H là tâm dường tròn nội tiếp tam giác DEF

 

Answer 1

a, E, F cùng nhìn BC dưới 1 góc 90 => tứ giác BFEC nội tiếp

cmtt F,E cung nhìn AH dưới 1 góc 90 => tứ giác AEHF nội tiếp =>góc EHC = góc BAC ( cùng bù với EHF)

b, Xét tam giác ABE và tam giác CHE có 

   góc BAC = góc EHC 

   góc BEA = góc CEH  = 90

=>tam giác BAE đồng dạng với tam giác CHE(gg) =>AE/HE=BE/CE=> EA.EC=EH.EC

c,cmtt câu a, ta được tứ giác BFHD =>góc ABE = góc FDA

                       tứ giác DHEC nội tiếp =>góc ADE = góc FCA

Lại có góc ABE = góc FCA vì cùng phụ với góc BAC => góc FDA=góc ADE => AD là phân giác của góc FDE 

cmtt =>FC và EB là phân giác của góc DFE và DEF 

=> H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF