Question

Cho tam giác ABC cân tại A , trên AB và AC lấy các điểm M,N sao cho BM=CN 

a, CM tam giác AMN cân và AMN =ABC 

b, MNBC là hình gì 

c, Gọi E,F,G,H là trung điểm của AM ,AN NC, MB . Chứng minh EFGH Là hình thang cân 

d, EF =3cm ,GH = 8CM . Tính BC 

Answer 1

a) Ta có: AM+MB=AB(M nằm giữa hai điểm A và B)

AN+NC=AC(N nằm giữa A và C)

mà MB=NC(gt)

và AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên AM=AN

Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)

nên ΔAMN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔAMN cân tại A(cmt)

nên \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

b) Ta có: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(cmt)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MN//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Xét tứ giác MNBC có MN//BC(cmt)

nên MNBC là hình thang có hai đáy là MN và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang MNBC(MN//BC) có \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)(ΔABC cân tại A)

nên MNBC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

 

Answer 2

c) Xét ΔAMN có 

E là trung điểm của AM(gt)

F là trung điểm của AN(gt)

Do đó: EF là đường trung bình của ΔAMN(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

Suy ra: EF//MN và \(EF=\dfrac{MN}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà MN//BC(cmt)

nên EF//BC(3)

Xét hình thang MNCB(MN//CB) có 

H là trung điểm của MB(gt)

G là trung điểm của NC(gt)

Do đó: HG là đường trung bình của hình thang MNCB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

Suy ra: HG//MN//BC và \(HG=\dfrac{MN+BC}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)(4)

Từ (3) và (4) suy ra EF//HG

Ta có: HG//BC(cmt)

nên \(\widehat{EHG}=\widehat{ABC}\) và \(\widehat{FGH}=\widehat{ACB}\)(Các cặp góc đồng vị)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{EHG}=\widehat{FGH}\)

Xét tứ giác EFGH có EF//HG(cmt)

nên EFGH là hình thang có hai đáy là EF và HG(Định nghĩa hình thang)

Hình thang EFGH(EF//HG) có \(\widehat{EHG}=\widehat{FGH}\)(cmt)

nên EFGH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)