Question

Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 40 là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh n⁴ - 1 chia hết cho 40.

Answer 1

Bài làm:

Vì n và 40 là 2 SNT cùng nhau => n và 10 là 2 SNT cùng nhau

=> n sẽ không chia hết cho 2 hoặc 5

=> n là số lẻ

Đặt n = 2k+1 (k là số tự nhiên)

=> n⁴-1 = (n²-1)(n²+1) = (n-1)(n+1)(n²+1)

Thay n = 2k+1 vô ta được: (2k+1-1)(2k+1+1)(4k²+4k+1+1)

= 2k(2k+2)(4k²+4k+2)

= 8k(k+1)(2k²+2k+1) chia hết cho 8

=> n⁴-1 chia hết cho 8 (1)

Ta lại đặt n = 5k+1 (k lẻ)

=> n⁴-1 = (n+1)(n-1)(n²+1) = (5k+1-1)(5k+1+1)(25k²+10k+1)

= 5k(5k+2)(25k²+10k+1) chia hết cho 5

=> n⁴-1 chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2) => \(n^4-1⋮8.5=40\)

Vậy \(n^4-1⋮40\)

Mk k chắc bài mk làm đúng nhé!