Question

Cho pt :
\(x^4\) - 2.(m-1).\(x^2\)+ m -3 = 0
Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt.

Answer 1

Đặt \(x^2=t\) ( \(t>0\) ) ,ta có phương trình tương đương
\(t^2-2t\left(m-1\right)+m-3=0\)

* Biện luận

Với x=0 ,hay t =0 ta có m =3 , thay ngược lại phương trình , ta có

\(t^2-4t=0\Rightarrow t\left(t-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=4\end{matrix}\right.\)

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt với m=3 ( x = 0) (*)

Với x \(\ne0\) hay \(t\ne0\) , phương trình trở thành phương trình bậc hai

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow\Delta'\ge0\)

Ta có \(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-\left(m-3\right)=m^2-2m+1-m+3=m^2-3m+4=\)

\(\left(m^2-3m+\frac{9}{4}\right)++\frac{7}{4}=\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}>0\)

=> PT có hai nghiệm phân biệt với mọi m khi x \(\ne0\) (**)

Từ (*) & (**) suy ra với mọi m, pt có hai nghiệm phân biệt