Question

cho pt: \(x^2-\left(m-1\right)x-2=0\).Chứng minh rằng pt luôn có hai nghiệm phân biệt x1x2.Tìm m để x1x2 thỏa mãn \(\left(1-\dfrac{2}{x_1+1}\right)^2+\left(1-\dfrac{2}{x2+1}\right)^2=1\)

Mn ơi ai giúp e với đang cần gấp ạ! em cảm ơn

Answer 1

\(\Delta=\left(m-1\right)^2+8>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

\(\left(1-\dfrac{2}{x_1+1}\right)^2+\left(1-\dfrac{2}{x_2+1}\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x_1-1}{x_1+1}\right)^2+\left(\dfrac{x_2-1}{x_2+1}\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x_1-1}{x_1+1}+\dfrac{x_2-1}{x_2+1}\right)^2-2\left(\dfrac{x_1-1}{x_1+1}\right)\left(\dfrac{x_2-1}{x_2+1}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{\left(x_1-1\right)\left(x_2+1\right)+\left(x_1+1\right)\left(x_2-1\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\right)^2-2\left(\dfrac{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2x_1x_2-2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\right)^2-2\left(\dfrac{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{-6}{m-2}\right)^2+2\left(\dfrac{m}{m-2}\right)=1\) 

\(\Leftrightarrow36\left(\dfrac{1}{m-2}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{m-2}\right)+1=0\)

Pt trên vô nghiệm nên ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu