Question

cho parabol (p):y=x^2

đường thằng (d): y=mx+1

xác định m để (d) cắt (p) tại 2 điểm phân biệt A(x_A; y_A) ; B(x_B; y_B) và (x_A - 1)² + (x_B - 1)² đạt GTNN

Answer 1

Hoành độ giao điểm của (p) và (d) là n_o của pt

x² = mx +1

<=> x² - mx -1 = 0

Xét \(\Delta\) = b² - 4ac = m² + 4 > 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có

x_A + x_B = \(\dfrac{-b}{a}\) = m

x_A x_B = \(\dfrac{c}{a}\) = -1

Đặt A = (x_A - 1)² + (x_B - 1)² = (x_A² + x_B²) - 2(x_A + x_B) + 2

A = (x_A + x_B)² - 2x_Ax_B - 2(x_A + x_B) + 2

A = m² + 2 - 2m + 2 = (m² - 2m + 1) + 3

A = (m -1)² + 3 \(\ge\) 3

=> A_min = 3 <=> m = 1

Vậy m = 1