Cho (O;R) đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (M = A và B). Vẽ (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD đến (M).
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O).
b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi . Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD
c) Lấy điểm N cố định trên (O). Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tìm tập hợp các điển P.
a: Xét (M) có
AC,AH là tiếp tuyên
=>AC=AH và MA là phân giác của góc CMH(1)
Xét (M) có
BH,BD là tiếp tuyến
=>BH=BD và MB là phân giác của góc HMD(2)
Từ (1), (2) suy ra góc CMD=2*90=180 độ
=>CD là đường kính của (H)
ΔCMA đồng dạng với ΔMBA
=>góc CMA=góc MBA
=>góc AMO+góc CMA=90 độ
=>CD là tiếp tuyến của (O)
b: AC+BD=AH+BH=AB ko đổi
AC*BD=AH*BH<=MH^2
Dấu = xảy ra khi H là chân đường cao kẻ từ M xuống AB
