Question

Cho (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn với OA> 2R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ đường kính BD của đường tròn (O).

a) Cm: A,B,O,C cùng thuộc đường tròn

b) Cm OA vuông góc với BC và OA song song với DC

c) Kẻ OK vuông góc với DC (K thuộc DC). Tia OK cắt tia AC tại điểm E. Cm DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d) Gọi F là giao điểm của tia DE và tia BC. Cm E là trung điểm của DF và OF vuông góc với AD

Giúp e câu c, d với ạ=(

Answer 1

a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{ABO}+\hat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>CB⊥CD

mà OA⊥BC

nên OA//CD
c: ΔODC cân tại O

mà OK là đường cao

nên OK là phân giác của góc DOC

Xét ΔODE và ΔOCE có

OD=OC

\(\hat{DOE}=\hat{COE}\)

OE chung

Do đó: ΔODE=ΔOCE

=>\(\hat{ODE}=\hat{OCE}\)

=>\(\hat{ODE}=90^0\)

=>DE là tiếp tuyến của (O)

d: ΔODE=ΔOCE

=>ED=EC

ΔBCD vuông tại C

=>DC⊥BC tại C

=>DC⊥CF tại C

=>ΔCDF vuông tại C

Ta có: \(\hat{ECD}+\hat{ECF}=\hat{DCF}=90^0\)

\(\hat{EDC}+\hat{EFC}=90^0\) (ΔDCF vuông tại C)

mà \(\hat{ECD}=\hat{EDC}\) (ΔECD cân tại E)

nên \(\hat{ECF}=\hat{EFC}\)

=>EF=EC

mà ED=EC

nên ED=EF

=>E là trung điểm của DF