cho nửa đường tròn o,bán kính R đường kính AB.Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax,By với nửa đường tròn (O:R).Qua điểm M bất kỳ thuộc nửa đường tròn này kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax,By lần lượt ở E và F.Nối AM cắt OE tại P,nối MB cắt OF tại Q.Hạ MH vuông hóc với AB tại H
1, Chứng minh năm điểm M,P,H,O,Q cùng nằm trên một đường tròn
2,CM:AE.BF=R2
1: Xét (O) có
EM,EA là các tiếp tuyến
DO đó: EM=EA và OE là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
FM,FB là các tiếp tuyến
Do đó: FM=FB và OF là phân giác của góc MOB
Ta có: EM=EA
=>E nằm trên đường trung trực của MA(1)
Ta có: OA=OM
=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)
Từ (1),(2) suy ra OE là đường trung trực của AM
=>OE\(\perp\)AM tại P và P là trung điểm của AM
Ta có: FM=FB
=>F nằm trên đường trung trực của MB(3)
Ta có: OM=OB
=>O nằm trên đường trung trực của MB(4)
Từ (3),(4) suy ra OF là đường trung trực của MB
=>OF\(\perp\)MB tại Q
Ta có: \(\widehat{MPO}=\widehat{MQO}=\widehat{MHO}=90^0\)
=>M,P,H,Q,O cùng thuộc đường tròn đường tròn đường kính MO
Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{EOM}+\widehat{FOM}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{EOF}=180^0\)
=>\(\widehat{EOF}=90^0\)
Xét ΔOEF vuông tại O có OM là đường cao
nên \(ME\cdot MF=OM^2\)
mà ME=AE và MF=FB
nên \(AE\cdot BF=R^2\)
