Cho nửa đường tròn (O; R); đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn, M là một điểm thuộc nửa đường tròn (O; R), (M ≠ A, B). Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
1) Chứng minh: 4 điểm O, M, D, B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh: CD = AC + DB; AC.DB = R2.
3) Gọi AM cắt OC tại N; BM cắt OD tại P. Xác định dạng tứ giác MNOP.
4) Chứng minh: AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính CD.
5) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn (O; R) để (AC + DB)min.
6) Khi M chuyển động trên nửa đường tròn (O; R), (M ≠ A; B) thì trung điểm I của NP chuyển động trên đường nào?
7) Kẻ MH ⊥ AB tại H, CB cắt MH tại K. Chứng minh: K trung điểm của MH.
1: Xét tứ giác OMDB có
góc OBD+góc OMD=180 độ
nên OMDB là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(1)
Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(2)
CD=CM+MD
=>CD=CA+BD
Từ (1),(2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ
=>ΔCOD vuông tại O
mà OM là đường cao
nên CM*MD=OM^2=R^2
=>AC*BD=R^2
3: CM=CA
OA=OM
Do đó: CO là đường trung trực của AM
=>CO vuông góc với AM
DM=DB
OM=OB
Do đó; OD là trung trực của MB
Xét tứ giác MNOP có
góc MNO=góc MPO=góc NOP=90 độ
nên MNOP là hình chữ nhật
