Cho nửa đường tròn O, đường kính AB=2R, gọi I là trung điểm AO. Qua thẳng vuông góc với AB, đường này cắt nửa đường tròn ở K. Trên IK lấy điểm C, AC M;MB cắt đường thẳng IK tại D. Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N. 1. C/m:AIMD nội tiếp. 2. C?m CM. CA=CI. ĐĨA CD. 3. C/m ND=NC. 4. Cb cắt AD tại E. C/m E nằm trên đường tròn (O) và C là tâm đường tròn nội tiếp ∆ΕΙΜ. 5. Giả sử C là trung điểm IK. Tính CD theo R.
1: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM\(\perp\)DB tại M
Xét tứ giác AIMD có \(\widehat{AID}=\widehat{AMD}=90^0\)
nên AIMD là tứ giác nội tiếp
2: Xét ΔCMD vuông tại M và ΔCIA vuông tại I có
\(\widehat{MCD}=\widehat{ICA}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔCMD~ΔCIA
=>\(\dfrac{CM}{CI}=\dfrac{CD}{CA}\)
=>\(CM\cdot CA=CD\cdot CI\)
3: Ta có: \(\widehat{NMC}+\widehat{OMC}=\widehat{NMO}=90^0\)
\(\widehat{ACI}+\widehat{OAM}=90^0\)(ΔCIA vuông tại I)
mà \(\widehat{OMC}=\widehat{OAM}\)(ΔOAM cân tại O)
nên \(\widehat{NMC}=\widehat{NCM}\)
=>NM=NC
Ta có: \(\widehat{NMC}+\widehat{NMD}=\widehat{DMC}=90^0\)
\(\widehat{NCM}+\widehat{NDM}=90^0\)(ΔDMC vuông tại M)
mà \(\widehat{NMC}=\widehat{NCM}\)
nên \(\widehat{NMD}=\widehat{NDM}\)
=>ND=NM
=>ND=NC
