Question

Cho mặt cầu (S) có bán kính R cố định. Gọi (H) là hình chóp tứ giác đều có thể tích lớn nhất nội tiếp trong (S). Tìm theo R độ dài cạnh đáy (H).

A. 4 R 3

B. 2 R 3

C. R 3

D.R

Answer 1

Đáp án A

Ký hiệu như hình vẽ. Đặt   A B = B C = C D = D A = a ; S O = h

Suy ra   S B = a 2 2 + h 2  

Gọi M là trung điểm của SB

Trong (SBD) kẻ trung trực của SB cắt SO tại I

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Suy ra I S = R .

Hai tam giác vuông SMI và SOB đồng dạng ⇒ S I S B = S M S O ⇒ R = a 2 + 2 h 2 4 h với  0 < h < 2 R .  Suy ra a 2 = 2 h 2 R − h .

Thể tích V của khối chóp là:

V = 1 3 a 2 h = 1 3 2 h 2 2 R − h = 8 3 h 2 h 2 2 R − h ≤ 8 3 h 2 + h 2 + 2 R − h 3 3 = 64 R 3 81

Vậy GTLN của V  bằng 64 R 3 81  đạt được khi   h 2 = 2 R − h ⇔ h = 4 R 3

Suy ra a = 4 R 3  .