(a-b)^2 + (a-c)^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ac + c^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 - 4ab - 4bc - 4ca
- 2a^2 - 3b^2 - 3c^2 - 2ab - 2ac = - 4ab - 4bc - 4ac
2a^2 + 3b^2 + 3c^2 + 2ab + 2ac = 4ab + 4bc + 4ca
2a^2 + 3b^2 + 3c^2 = 2ab + 4bc + 2ac
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0 [ đoạn này hơi tắt]
mà (a-b)^2 ; (b-c)^2 ; (a-c)^2 > hoặc = 0
=> a = b = c
mik nha
Chứng Mình rằng
\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
trình bày cách làm nữa nhé ;)
Cho \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=4\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
Chứng minh rằng a=b=c
Mạnh mẽ hơn Nesbitt?
Với a, b, c là các số thực sao cho: \(a+b+c>0,\text{ }ab+bc+ca>0,\text{ }\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>0\) thì:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\ge\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\right)-\frac{9}{4}\)
Chứng minh: \(4\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\cdot\left(\text{VT}-\text{VP}\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left[\Sigma\left(ab+bc-2ca\right)^2+\left(ab+bc+ca\right)\Sigma\left(a-b\right)^2\right]\)
\(+\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\ge0\)
Cho \(a,b,c\) thỏa mãn \(\left|a\right|,\left|b\right|,\left|c\right|< 1\) và \(ab+bc+ca=2\). Chứng minh :
\(P=\dfrac{a^2}{1-b^2}+\dfrac{b^2}{1-c^2}+\dfrac{c^2}{1-a^2}\ge6\).
Cho a,b,c>0. Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) và \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{10}{3}\)
Hôm nay mình lại post bài lên nữa đây :D( lần này thì các bạn khỏi lo sai đề giống lần trước nhé,lần trước mình bất cẩn quá :D )
1.Với \(a,b,c>0\).Chứng minh:
\(\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)+3abc\right]^2\ge2\left[a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^2\right]\left[a^3b+b^3c+c^3a+abc\left(a+b+c\right)\right]\)
2.Với \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{cases}}\).Chứng minh:
\(\frac{a}{b^2+c}+\frac{b}{c^2+a}+\frac{c}{a^2+b}\ge\frac{3}{2}\)
3.Với \(a,b,c>0\).Chứng minh:
\(ab\left(b^2+ca\right)+bc\left(c^2+ab\right)+ca\left(a^2+bc\right)\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!
Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).
Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:
\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).
Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).
Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).
b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).
c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).
Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).
Cho \(\left(a+b+c\right)^2+12=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)\)
Chứng minh rằng \(a=b=c=2\)
Chứng minh rằng: \(\left(A+B+C\right)^3=\left(A+B+C\right)\left(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA\right)\)
