Question

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mp(ABC) là trung điểm của AB, góc giữa A'C và mp(ABC) là 60 độ. Tính cos của góc giữa (A'AC) và (ABC)

Answer 1

Gọi D là trung điểm AB \(\Rightarrow A'D\perp\left(ABC\right)\) 

\(\Rightarrow CD\) là hình chiếu vuông góc của A'C lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{A'CD}\) là góc giữa A'C và (ABC) \(\Rightarrow\widehat{A'CD}=60^0\)

\(CD=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\) (trung tuyến tam giác đều)

\(\Rightarrow A'D=CD.tan60^0=3a\)

Từ D kẻ \(DE\perp AC\) (E thuộc AC)

Mà \(A'D\perp\left(ABC\right)\Rightarrow A'D\perp AC\)

\(\Rightarrow AC\perp\left(A'DE\right)\Rightarrow\widehat{AED}\) là góc giữa (A'AC) và (ABC)

\(DE=AD.sinA=a.sin60^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow A'E=\sqrt{A'D^2+DE^2}=\dfrac{a\sqrt{39}}{2}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{A'ED}=\dfrac{DE}{A'E}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}\)

Answer 2