Cho hình chữ nhật abcd có hai đường chéo ac và bd cắt nhau tại e qua d kẻ đường thẳng vuông góc với bd tại d cắt bc tại f
a) chứng minh tam giác bdf đồng dạng tam giác bcd. Biết bd=3cm df=4cm,tính bf và dc
b)kẻ ck vuông góc với df tại k.Chứng minh ab^2=dk.df
c)Gọi M,N lần lượt là giao điểm của ef với ck và dc. CM m là trung điểm của ck và ba điểm b,k,n thẳng hàng
a: Xét ΔBDF vuông tại D và ΔBCD vuông tại C có
\(\widehat{DBF}\) chung
Do đó: ΔBDF~ΔBCD
Ta có: ΔBDF vuông tại D
=>\(DB^2+DF^2=BF^2\)
=>\(BF^2=3^2+4^2=25=5^2\)
=>BF=5(cm)
Ta có: ΔBDF~ΔBCD
=>\(\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{BF}{BD}\)
=>\(\dfrac{4}{DC}=\dfrac{5}{3}\)
=>\(DC=4\cdot\dfrac{3}{5}=2,4\left(cm\right)\)
b:
Xét ΔDKC vuông tại K và ΔDCF vuông tại C có
\(\widehat{KDC}\) chung
Do đó: ΔDKC~ΔDCF
=>\(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{DC}{DF}\)
=>\(DK\cdot DF=DC^2=AB^2\)
c) Có CK ⊥ DF, BD ⊥DF (gt) => BD // CK
Áp dụng định lý Tha-lét vào MK//DE (E∈BD, M∈CK);F ∈ tia DK,BC
=> \(\dfrac{CM}{EB}=\dfrac{FM}{EF}\) (t/c)
Áp dụng định lý Tha-lét vào MK//DE (E∈BD, M∈CK);F ∈ tia DK,BC
=> \(\dfrac{MK}{DE}=\dfrac{FM}{EF}\)(t/c)
=> \(\dfrac{CM}{EB}=\dfrac{MK}{DE}\)(*)
Có ABCD là hình chữ nhật (gt) , AC giao BD tại E => E là trung điểm BD => DE=EB(**)
Từ (*) và (**) => CM=MK => M là trung điểm CK
Áp dụng định lý Tha-lét vào MC // DE; N thuộc CD, EM có:
\(\dfrac{CM}{DE}=\dfrac{MN}{NE}\)(t/c) => \(\dfrac{MK}{EB}=\dfrac{MN}{NE}\)
Xét tam giác MKN và tam giác EBN có: BEN = NMK(EB//MK, 2 góc slt); MK/EB=MN/NE (cmt)
=> \(\Delta MKN\text{ᔕ}\Delta EBN\left(c.g.c\right)\)=> MNK = BNE => BNE + ENK = MNK + ENK => BNK = 180 độ => B,N,K thẳng hàng
