Question

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) bằng a 14 7  và góc giữa đường thẳng SB với mặt đáy bằng 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo a.

A. V = 3 a 3 2 2

B. V = 3 a 3 2 4

C. V = 3 a 3 2 16

D. V = 9 a 3 2 4

Answer 1

Đáp án B.

Ta có góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABCD) chính là góc S B O ^  nên S B O ^ = 60 ° .

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD thì ta có C D ⊥ S O M .

Từ O kẻ O H ⊥ S M , H M  thì O H = d O , S C D .

Đặt A B = 2 x  thì O M = x  và O B = x 2 .

Tam giác SOB vuông tại O nên  S O = O B tan S B O ^ = x 6 .

Ta có O H = S O . O M S O 2 + O M 2  nên O H = x 6 . x 6 x 2 + x 2 = x 42 7 .

Theo giả thiết, ta có x 42 7 = a 14 7 ⇔ x = a 3 2 . Do đó  A B = a 3 , S O = 3 a 2 2 .

Vì vậy thể tích của khối chóp S . A B C  là V = 1 3 . S O . S A B C = 3 a 3 2 4 .

Vậy phương án đúng là B.