Question

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối SCMN là:

A.  3 a 2

B.  a 3

C.  93 6 a

D.  31 12 a

Answer 1

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của  A D ⇒ S H ⊥ ( A B C D ) ⇒ S H = a 3

Cho hệ trục tọa độ như hình vẽ  ⇒ D ( a ; 0 ; 0 ) , M ( 0 ; 2 a ; 0 ) , N ( a ; a ; 0 )

⇒  Trung điểm MN là I a 2 ; 3 a 2 ; 0  có  S 0 ; 0 ; a 3 , C a ; 2 a ; 0

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với  (ABCD)

⇒ d có vecto chỉ phương   k   → = 0 ; 0 ; 1

∆ N C M  vuông tại C  là tâm đường tròn ngoại tiếp

⇒  d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

⇒  Tâm J của mặt cầu ngoại tiếp SCMN thuộc d

Ta có d qua I a 2 ; 3 a 2 ; 0  và k   → = 0 ; 0 ; 1  là vecto chỉ phương ⇒ d : x = a 2 y = 3 a 2 z = t  

⇒ J a 2 ; 3 a 2 ; t  mà  J C = J S ⇒ a 2 2 + a 2 2 + t 2 = a 2 2 + 3 a 2 2 + a 3 - t 2

⇒ t = 5 a 3 6  Bán kính R = J C = 93 6 a .