\(\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right),BC\perp AB\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SA\), mà \(SA\perp SB\Rightarrow SA\perp\left(SBC\right)\).
Gọi \(d\) là khoảng cách từ \(D\) đến \(\left(SBC\right)\)
\(\Rightarrow d=SD.\sin\varphi=\frac{SD}{3}\)
Mặt khác: \(AD\)//\(\left(SBC\right)\) \(\Rightarrow d\left(D,\left(SBC\right)\right)=D\left(A,\left(SBC\right)\right)\Rightarrow d=SA\Rightarrow SA=\frac{SD}{3}\)
Do \(AD\)//\(BC\)\(\Rightarrow AD\) v/góc \(SA\). Xét tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có \(AD=2a\) và \(SA^2+AD^2=SD^2\Leftrightarrow SA^2+4a^2=9SA^2\Leftrightarrow SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SB=\sqrt{AB^2-SA^2}=\sqrt{4a^2-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\)
Kẻ \(SH\) v/góc \(AB\) tại \(H\Rightarrow SH\) v/góc \(\left(ABCD\right)\). Trong t/g/vuông \(SAB\) có \(SH=SH=\frac{SA.SB}{AB}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{14}}{2}}{2a}=\frac{a\sqrt{7}}{4}\Rightarrow V_{SABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{7}}{4}.4a^2\)\(=\frac{\sqrt{7.a^3}}{3};d\left(C,\left(SBD\right)\right)=\frac{3.V_{SBCD}}{S_{SBD}}\left(1\right);V_{SBCD}=\frac{1}{2}.V_{SABCD}=\frac{\sqrt{7.a^3}}{6};BD^2=\left(2a\sqrt{2}\right)^2\)
\(SB^2+SD^2=\left(\frac{a\sqrt{14}}{2}\right)^2+\left(\frac{3a\sqrt{2}}{2}\right)^2=8a^2\Rightarrow\)t/giác \(SBD\) vuông tại \(S\)
\(S_{SBD}=\frac{1}{2}.SB.SD=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{14}}{2}.\frac{3a\sqrt{2}}{2}=\frac{3a^2.\sqrt{7}}{4}\)
Thay vào (1) ta được: \(d\left(C,\left(SBD\right)\right)=\frac{2a}{3}\)
Mình nhầm bài này lớp 10 chứ không phải lớp 9 xin lỗi
