Question

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), S A = a , A B = a , A C = 2 a , B A C = 60 ° . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A. V = 20 5 π a 3 3

B.  V = 5 5 6 π a 3

C.  V = 5 5 π 2 a 3

D.  V = 5 6 π a 3

Answer 1

Đáp án B

Phương pháp:

- Chứng minh Δ A B C vuông tại B, tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.

- Sử dụng công thức R 2 = h 2 4 + r 2 với R là bán kính hình cầu ngoại tiếp khối chóp, h là chiều cao, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Cách giải:

Ta có:  cos 60 ° = 1 2 = a 2 a → cos B A C = A B A C

⇒ Δ A B C  vuông tại B.

Gọi M là trung điểm AC.

⇒ M  là tâm đường tròn ngoại tiếp  Δ A B C

⇒ M A = M A = A C 2 = a

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.

R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

h là chiều cao hình chóp.

Ta có công thức sau:

R 2 = h 2 4 + r 2 ⇒ R 2 = a 2 4 + a 2 = a 5 2

⇒ V = 4 3 π R 3 = 5 a 5 6

Chú ý khi giải:

HS cần linh hoạt trong việc chứng minh Δ A B C vuông tại B và biết sử dụng công thức liên hệ giữa R, r, h.