Câu hỏi của Nguyễn Phạm

Question

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường chéo AC cắt các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự tại P và Q.
a) C/m tứ giác BEDF là hình bình hành.
b) Chứng minh AP = PQ = QC.
c) Gọi R là trung điểm của BP. Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình hành

Bùi Thị Vân · Accepted Answer

A B C D    P Q E F  a) Có $DE=\frac{1}{2}DA$, $BF=\frac{1}{2}BC$.Tứ giác ABCD là hình bình hành nên DE = BC suy ra DE = BF.Mà DE // BF.Vì vậy tứ giác BEDF là hình bình hành.b) Theo chứng minh câu a tứ giác BEDF là hình bình hành suy ra BE // DF.Xét tam giác ADQ có E là trung điểm của DA và AB // DQ nên P là trung điểm của AQ.Vì vậy AP = PQ. (1)Xét tam giác BCP có F là trung điểm của BC và FD // BE nên Q là trung điểm của của PC.Vì vậy PQ = QC. (2)Từ (1) và (2) suy ra: AP = PQ = QC.c)Do AE // BC nên áp dụng định lý Ta-lét:$\frac{AP}{PB}=\frac{EP}{PB}=\frac{1}{2}$.Suy ra $EP=\frac{1}{2}PB$.Mặt khác R là trung điểm của PB nên PR = RB $=\frac{1}{2}PB$.Từ đó suy ra $EP=PR=RB$.Vậy P là trung điểm của AR và ta cũng có P là trung điểm AQ nên tứ giác ARQE là hình bình hành. Câu trả lời: A B C D    P Q E F  a) Có $DE=\frac{1}{2}DA$, $BF=\frac{1}{2}BC$.Tứ giác ABCD là hình bình hành nên DE = BC suy ra DE = BF.Mà DE // BF.Vì vậy tứ giác BEDF là hình bình hành.b) Theo chứng minh câu a tứ giác BEDF là hình bình hành suy ra BE // DF.Xét tam giác ADQ có E là trung điểm của DA và AB // DQ nên P là trung điểm của AQ.Vì vậy AP = PQ. (1)Xét tam giác BCP có F là trung điểm của BC và FD // BE nên Q là trung điểm của của PC.Vì vậy PQ = QC. (2)Từ (1) và (2) suy ra: AP = PQ = QC.c)Do AE // BC nên áp dụng định lý Ta-lét:$\frac{AP}{PB}=\frac{EP}{PB}=\frac{1}{2}$.Suy ra $EP=\frac{1}{2}PB$.Mặt khác R là trung điểm của PB nên PR = RB $=\frac{1}{2}PB$.Từ đó suy ra $EP=PR=RB$.Vậy P là trung điểm của AR và ta cũng có P là trung điểm AQ nên tứ giác ARQE là hình bình hành.