Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD, BC.Đường chéo AC cắt đoạn BE, DF theo thứ tự tại P, Q.
a)Chứng minh rằng tứ giác ABFE là hình bình hành.
b)Chứng minh rằng: AP=PQ=QC.
c)Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh DC (M khác D,C).Gọi I,K theo thứ tự là điểm đối xứng của M qua E,F .Chứng minh rằng I,K thuộc đường thẳng A,B.
d)Chứng minh rằng : AI + BK không đổi khi M di chuyển trên cạnh CD.
a/
Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD => ABCD cũng là hình thang.
Ta có E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC nên EF là đường trung bình
của hình thang ABCD => EF // AB (1)
Lại có AE // BF (2) . Từ (1) và (2) suy ra ABFE là hình bình hành (dhnb)
b/ Xét tứ giác DEBC có \(\hept{\begin{cases}DE=BF\\DE\text{//}BF\end{cases}}\) => DEBF là hình bình hành => BE // DF
Xét tam giác BCP : \(\hept{\begin{cases}BF=FC\\FQ\text{//}BP\end{cases}}\) => QF là đường trung bình => CQ = QP (3)
Tương tự với tam giác ADQ : PE là đường trung bình => AP = PQ (4)
Từ (3) và (4) => AP = PQ = QC
c/
Ta có : \(\hept{\begin{cases}IE=EM\\AE=ED\end{cases}}\) => IAMD là hình bình hành => IA // DM hay IA // CD (5)
Tương tự : \(\hept{\begin{cases}BF=FC\\MF=FK\end{cases}}\) => BKCM là hình bình hành => BK // CD (6)
Lại có AB // CD (7)
Từ (5) , (6) , (7) kết hợp cùng với tiên đề Ơ-clit ta được đpcm.
d/ Vì IAMD và BKCM là các hình bình hành (chứng minh ở câu c)
nên ta có AI = DM , BK = CM
=> AI + BK = DM + CM = CD (không đổi)
Vậy khi M di chuyển trên cạnh CD thì AI + BK không đổi.
a)
*xét hbh ABCD có:
AD//BC(t/c hbh)
B,F,C THẲNG HÀNG
A,E,D THẲNG HÀNG
=> BF//AE(1)
* xét hbh ABCD có
AD=BC(t/c hbh)
có BF=FC
AE=ED
=> AE=BF(2)
Từ (1),(2) => EABF là hbh(dhnb)
mình chỉ lm đc câu a) thoi xl nhé
a)Ta có :E là trung điểm của AD nên ED=EA=1/2 AD
F là trung điểm của BC nên FB=FC=1/2 BC
Mà AD=BC(vì ABCD là hình chữ nhật)
\(\Rightarrow\)ED=EA=FB=FC=1/2 AD=1/2 BC
Do ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC \(\Rightarrow\)AE // BF
Tứ giác ABEF có AE // BF và AE=BF nên là hình bình hành (dấu hiệu)
b) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC \(\Rightarrow\)BF // ED
Tứ giác EBFD có BF // ED và BF=ED(cm ý a) nên là hình bình hành
\(\Rightarrow\)EB // DF
Tam giác ADQ có ED // DQ (vì EB // DF ) và AE=AD (gt) nên AP=PQ(1)
Tam giác CBD có QF // BP (vì EB // DF ) và CF=FB (gt ) nên PQ=QC (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)AP=PQ=QC (đpcm)
