Question

Cho hàm số y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 1  và điểm A 1 ; m . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho có đúng một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A. Biết S là hợp của một số khoảng rời nhau. Có bao nhiêu khoảng như vậy?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Answer 1

Đáp án C.

Ta có y ' = 3 x 2 - 12 x + 9 .

Gọi M x 0 ; y 0  là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A của đồ thị hàm số.

Lúc này tiếp tuyến có phương trình

y = 3 x o 2 - 12 x 0 + 9 x - x 0 + x 0 3 - 6 x 0 2 + 9 x 0 - 1

Tiếp tuyến đi qua A 1 ; m ⇒ m = 3 x 0 2 - 12 x 0 + 9 1 - x 0 + x 0 3 - 6 x 0 2 + 9 x 0 - 1  

⇔ m = - 2 x 0 3 + 9 x 0 2 - 12 x 0 + 8   (*).

Để có đúng một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A thì phương trình (*) có duy nhất một nghiệm.

Xét hàm số f ( x ) = - 2 x 0 3 + 9 x 0 2 - 12 x 0 + 8  có bảng biến thiên

Để phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì m > 4 m < 3 ⇔ m ∈ - ∞ ; 3 ∪ 4 ; + ∞ .

Vậy ta chọn C.