Question

Cho hàm số y = f x = e x a sin x + b cos x với a, b là các số thực thay đổi và phương trình f ' x + f ' ' x = 10 e x  có nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a 2 - 2 a b + 3 b 2 .

A.  10 - 20 2

B.  20 + 10 2

C.  10 + 20 2

D.  20 - 10 2

Answer 1

Chọn đáp án D

Ta có

Suy ra

Từ giả thiết ta có f ' x + f ' ' x = 10 e x  

 

Để phương trình  f ' x + f ' ' x = 10 e x có nghiệm

⇔  Phương trình (*) có nghiệm

 

* Nếu b = 0 thì S = a 2 ≥ 10  

* Nếu b ≠ 0 thì S = a 2 - 2 a b + 3 b 2 ≥ 10 . a b 2 - 2 . a b + 3 a b 2 + 1 .

Đặt t = a b t ∈ R , suy ra S ≥ 10 . t 2 - 2 t + 3 t 2 + 1 .

Xét hàm số f t = t 2 - 2 t + 3 t 2 + 1  trên R.

Ta có

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy  f t ≥ 2 - 2