Question

Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa  ∫ 0 1 f x d x = ∫ 0 1 x + 1 e x f x d x = e 2 - 1 4  và f(1) = 0. Tính ∫ 0 1 f x d x .

A.  e - 1 2

B.  e 2 4

C.  e - 2

D.  e 2

Answer 1

Đáp án C.

Đặt u = f ( x ) d v = x + 1 e x d x ⇔ d u = f ' x d x v = x e x , khi đó  ∫ 0 1 x + 1 e x . f x d x

= x e x . f x 0 1 - ∫ 0 1 x e x . f ' x d x

= e . f 1 - ∫ 0 1 x e x . f ' x d x ⇔ ∫ 0 1 x e x . f ' x d x = - ∫ 0 1 x + 1 e x . f x d x = 1 - e 2 4 . 

Xét tích phân ∫ 0 1 f ' x + k . x e x 2 d x = ∫ 0 1 f ' x 2 d x + 2 k . ∫ 0 1 x e x . f ' x d x + k 2 . ∫ 0 1 x 2 e 2 x d x = 0  

⇔ e 2 - 1 4 + 2 k . 1 - e 2 4 + k 2 . e 2 - 1 4 = 0 ⇒ k 2 - 2 k + 1 = 0 ⇔ k = 1 ⇒ f ' x = - x . e x .  

Do đó f x = ∫ f ' x d x = - ∫ x . e x d x = 1 - x e x + C  mà f 1 = 0 ⇒ C = 0 . 

Vậy I = ∫ 0 1 f ( x ) d x = ∫ 0 1 ( 1 - x ) e x d x → c a s i o I = e - 2 .