Question

Cho hàm số  f x = 0       k h i   x = π 2 + k π , k ∈ ℤ 1 2 + tan 2 x  

Tìm điều kiện của a để hàm số g x = f x + f a x tuần hoàn

A.  a ∈ Z

B.  a ∈ Q

C.  a ∈ N

D.  a ∈ 0 ; + ∞

Answer 1

Xét hàm số 

- Nếu a = p q  với p ∈ Z , q ∈ N *  thì T = q π  là chu kì của g(x)

Vì g x + q π = f x + q π + f a x + p π  còn π  là chu kì của hàm số f(x)

- Ta sẽ chứng minh nếu a là số vô tỉ thì g(x) không tuần hoàn

Để ý rằng g 0 = f 0 + f 0 = 1 . Nếu g x 0 = 1  đối với x 0 ≠ 0  nào đó thì  tan 2 x 0 = 0  và tan 2 a x 0 = 0 . Điều này có nghĩa là x 0 = k π  và a x 0 = l π  với  k , l ∈ Z

Nhưng x 0 ≠ 0  nghĩa là a = 1 k . Điều này mâu thuẫn vì a là số vô tỉ. Do đó hàm số g(x) nhận giá trị 1 tại điểm duy nhất x = 0. Như vậy f(x) sẽ không tuần hoàn

Đáp án B