Question

Cho hai số thực x, y thõa mãn: x+y, x²+y², x⁴+y⁴ là các số nguyên. Chứng minh rằng: x³+y³  cũng là số nguyên.

Answer 1

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)(1)

Ta có: \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)

Vì \(x^2+y^2\)và x+y là các số nguyên => 2xy là số nguyên

\(x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)-2x^2y^2\)

Vì \(x^4+y^4,x^2+y^2\)là các số nguyên => \(2x^2y^2\)là số nguyên

=> \(\frac{1}{2}\left(2xy\right)^2\)là số nguyên=> \(\left(2xy\right)^2⋮2\)mà 2 là số nguyên tố => 2xy chia hết cho 2=> xy là số nguyên (2) 

Từ (1), (2) và x+y là số nguyên 

=> x^3+y^3 cũng là số nguyên.

Answer 2

Cô: x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2xxyy nhé cô :)

Answer 3

2xxyy =2x^2.y^2 :)