Phương trình (d): \(x-y-1=0\)
Dễ dàng nhận ra A và B nằm cùng phía so với (d)
Gọi M là hình chiếu vuông góc của A xuống (d) và C là điểm đối xứng A qua (d) \(\Rightarrow\left(d\right)\) là trung trực AD \(\Rightarrow AK=KD\)
\(\Rightarrow AK+BK=KD+BK\ge BD\) (theo BĐT tam giác)
\(\Rightarrow AK+BK\) nhỏ nhất khi K là giao điểm của BD và (d)
Gọi\(M\left(x;x-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(x-1;x-3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x-1}{1}=\frac{x-3}{-1}\Rightarrow x=2\Rightarrow M\left(2;1\right)\)
\(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(1;-1\right)\\\overrightarrow{MD}=\left(x-2;y-1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MD}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\y-1=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(3;0\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\left(7;-1\right)\Rightarrow BD\) có 1 vtpt là \(\overrightarrow{n}=\left(1;7\right)\)
Phương trình BD: \(1\left(x+4\right)+7\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+7y-3=0\)
Tọa độ K là nghiệm của hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=0\\x+7y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow K\left(\frac{5}{4};\frac{1}{4}\right)\)
