cho điểm D nằm ngoài đường tròn tâm O . từ D vẽ 2 tiếp tuyến DB , DA . A,B thuộc đường tròn O . OD cắt AB tại M . vẽ cát tuyến DEC . chứng minh MB^2 * DC = MC^2 * DE
1 , Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A sau 5h 20phút, một ca nô từ bến A đuổi theo và gặp thuyền tại vị trí B cách bến A 20km. Hãy tìm vận tốc của chiếc thuyền biết rằng trong 1h thì ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km.
2 .
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A thuộc đường tròn, BC là một đường kính (A ≠ B, A ≠ C). Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, AH và P là giao điểm của OE với tiếp tuyến tị A của đường tròn (O, R)
1) Chứng minh rằng: AB2 = BH.BC
2) Chứng minh: PB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
3) Chứng minh ba điểm P, M, C thẳng hàng.
Cho tam giác nhọn ABC (AC>AB) có các đường cao AA' , BB' , CC' và trực tâm H. Gọi (O) là đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM , AN tới đường tròn (O) (M , N là các tiếp điểm). Gọi M' là giao điểm thứ hai của A'N và đường tròn (O), K là giao điểm của OH và B'C'. CMR : \(\frac{KB'}{KC'}=\left(\frac{HB'}{HC'}\right)^2\)
1.Cho (O;R). Qua điểm M nằm trong đương tròn vẽ các dây CD và EF không đi qua O. Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau ở A, tiếp tuyến tại E và F của (O) cắt nhau tại B. Chứng minh OM vuông góc với AB
2. Cho (O) và đường thẳng d không cắt (O). Gọi H là hình chiếu của (O) trên d. Từ H vẽ các cát tuyến HCD và HAB với (O) (C nằm giữa H và D, A nằm giữa H và B, các cát tuyến không đi qua O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt d tại M. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt d tại M. Chứng minh ΔOMN cân
Cho đường tròn (O;4cm). Một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 8cm. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B,C: tiếp điểm). Tính số đo góc BOC
cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại các điểm M,N . Gọi H là gia điểm BN, CM; P là giao điểm AH và BC
1. Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn
2. Chứng minh BM.BA=BP.BC
3. Trong trường hợp đặc biệt khi tam giác ABC đều cạnh bằng 2a. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo a
4. Từ A kẻ các tiếp tuyển AE và AF của đường tròn tâm O đường kính BC ( E,F là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm E,H,F thằng hàng
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn C tâm O bán kính R. Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC cắt nhau tại H ( với E thuộc BC, K thuộc AC)
1. Chứng minh tg AEBK nội tiếp đường tròn
2. Chứng minh CE.CB=CK.CA
3. Chứng minh góc OCA = góc BAE
Cho Ax, By là các tiếp tuyến song song của đường tròn tâm O. (A,B là các tiếp điểm). Một tiếp tuyến thứ 3 của đường tròn O cắt Ax, By ở M,N. Biết AM=3,2 và BN=5. Tính bán kính của hình tròn.
Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với
đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ
một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
a) Chứng minh OM = OP và ΔNMP cân.
b) Hạ OI vuông MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh AM. BN = \(R^2\).
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất.