Gọi C là giao điểm của (O) và (I)
Kẻ CH là tiếp tuyến chung tại C của (O) và (I)(H\(\in\)AB)
Xét (O) có
HA,HC là các tiếp tuyến
Do đó: HA=HC và HO là phân giác của góc AHC
Xét (I) có
HC,HB là các tiếp tuyến
Do đó: HC=HB và HI là phân giác của góc CHB
Ta có: HO là phân giác của góc AHC
=>\(\widehat{AHC}=2\cdot\widehat{OHC}\)
HI là phân giác của góc CHB
=>\(\widehat{CHB}=2\cdot\widehat{CHI}\)
Ta có: \(\widehat{AHC}+\widehat{CHB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\left(\widehat{OHC}+\widehat{CHI}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{OHI}=180^0\)
=>\(\widehat{OHI}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
Xét ΔOHI vuông tại H có HC là đường cao
nên \(HC^2=CO\cdot CI=3\cdot5=15\)
=>\(HC=\sqrt{15}\)
Ta có: HC=HA
HB=HC
Do đó: HA=HB
=>H là trung điểm của AB
=>\(AB=2\cdot HA=2\cdot HC=2\sqrt{15}\)
