Cho đường tròn (O) bán kính R = 2 cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm). AO cắt BC tại D. ( VẼ HÌNH HỘ MÌNH ) a) Cmr 4 điểm A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn và OA là trung trực của BC (Ý 1 CM THEO 2 TAM GIÁC NỘI TIẾP, KHI CM NÊU RÕ NHỮNG DỮ KIỆN ĐỀ BÀI CHO) b) Vẽ đk BE của đường tròn (O), AE cắt đt (O) tại điểm thứ hai F. Gọi G là trung điểm của EF. Đt OG cắt đt BC tại H. Tính tích OA.OD và cm OA.OD=OG.OH c) CM EH là tiếp tuyến của đt (O)
Bổ sung đề; OA cắt BC tại D
a: Ta có: ΔOBA vuông tại B
=>B nằm trên đường tròn đường kính OA(1)
Ta có: ΔOCA vuông tại C
=>C nằm trên đường tròn đường kính OA(2)
Từ (1) và (2) suy ra B,C,O,A cùng thuộc đường tròn đường kính OA
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(4)
Từ (3) và (4) suy ra OA là đường trung trực của BC
b: OA là đường trung trực của BC
Do đó: OA\(\perp\)BC tại D và D là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BD là đường cao
nên \(OD\cdot OA=OB^2=R^2\)
Ta có: ΔOEF cân tại O
mà OG là đường trung tuyến
nên OG\(\perp\)EF tại G
Xét ΔOGA vuông tại G và ΔODH vuông tại D có
góc GOA chung
Do đó: ΔOGA đồng dạng với ΔODH
=>\(\dfrac{OG}{OD}=\dfrac{OA}{OH}\)
=>\(OG\cdot OH=OA\cdot OD\)
c: Ta có: \(OG\cdot OH=OA\cdot OD\)
\(OA\cdot OD=R^2\)
Do đó: \(OG\cdot OH=R^2=OE^2\)
=>\(\dfrac{OG}{OE}=\dfrac{OE}{OH}\)
Xét ΔOGE và ΔOEH có
\(\dfrac{OG}{OE}=\dfrac{OE}{OH}\)
\(\widehat{GOE}\) chung
Do đó: ΔOGE đồng dạng với ΔOEH
=>\(\widehat{OGE}=\widehat{OEH}\)
=>\(\widehat{OEH}=90^0\)
=>HE là tiếp tuyến của (O)
