Question

Cho \(\Delta ABC\) nhọn, tia phân giác góc A cắt BC tại P. Biết AB = 4 cm, AC = 8 cm, PC = 6 cm.

a) Tính BP, BC.

b) Từ B kẻ đường thẳng song song AP cắt AC tại E. Từ C kẻ đường thẳng song song với AP cắt AB tại F. Chứng minh: \(\dfrac{1}{AP}=\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{CF}\)

Answer 1

a: Xét ΔABC có AP là phân giác

nên \(\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{PB}{6}=\frac48=\frac12\)

=>\(PB=\frac62=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

BC=BP+CP=3+4=7(cm)

b: Xét ΔBFC có AP//FC

nên \(\frac{AP}{FC}=\frac{BP}{BC}\)

Xét ΔCBE có AP//BE

nên \(\frac{AP}{BE}=\frac{CP}{CB}\)

\(\frac{AP}{BE}+\frac{AP}{CF}=\frac{BP}{BC}+\frac{CP}{BC}=\frac{BP+CP}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\)

=>\(AP\left(\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}\right)=1\)

=>\(\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{1}{AP}\)