Question

Cho ΔABC, biết AB+AC=16, góc A = 60^o. Tìm các cạnh của ΔABC để S_ABC lớn nhất

Answer 1

- Hạ đường cao BH của \(\Delta ABC\).

- \(\Delta ABH\) vuông tại H có: 

\(BH=\sin\widehat{BAC}.AB=\sin60^0.AB=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}\)

- Diện tích tam giác ABC:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}BH.AC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}.AC=\dfrac{\sqrt{3}}{4}AB.AC\).

Mặt khác, theo bất đẳng thức Caushy, ta có:

\(AB.AC\le\left(\dfrac{AB+AC}{2}\right)^2=\left(\dfrac{16}{2}\right)^2=64\).

\(\Rightarrow S_{ABC}\le\dfrac{\sqrt{3}}{4}.64=16\sqrt{3}\left(đvdt\right)\)

Để \(S_{ABC}\) lớn nhất thì \(AB=AC=\dfrac{16}{2}=8\).

- Từ đây suy ra \(\Delta ABC\) cân tại A. Mà \(\widehat{A}=60^0\).

\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều nên \(AB=AC=BC=8\)