Question

Cho các số thực x,y thỏa mãn \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=3\).Tìm GTNN của biểu thức\(x+y\)

Answer 1

Đặt \(x+\sqrt{1+x^2}=a\Rightarrow a-x=\sqrt{1+x^2}\Rightarrow a^2-2ax+x^2=1+x^2\)

=> \(a^2-1=2ax\Rightarrow x=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)\)

Tương tự, đặt \(y+\sqrt{1+y^2}=b\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left(b-\frac{1}{b}\right)\)

=> x+y=\(\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{3}{3a}+\frac{3}{3b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b\right)\)(vì ab=3)

=\(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left(a+b\right)=\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)

Mà \(\left(a+b\right)^2\ge2ab=6\Rightarrow a+b\ge\sqrt{6}\Rightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{\sqrt{6}}{3}\)

dấu = xảy ra <=> a=b<=> x=y bạn tự thay vào và tự tìm nhá 

^_^