Em mới vừa nghĩ ra cách khác )):
\(VT=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{4}{a^2-2ab+b^2}=a^2+b^2+\frac{4}{a^2+b^2-2}\)
\(=a^2+b^2-2+\frac{4}{a^2+b^2-2}+2\)
\(\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2-2\right).\frac{4}{a^2+b^2-2}}+2=6\)
Bài này sai đề nhé! Thử: \(\left(a;b\right)=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{2}{\sqrt{5}-1}\right)\rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=4< 6\)
Và 4 cũng là min biểu thức trên!
vô trang cá nhân xong vô tkhđ của mk ms thấy
Sửa đề lại thì đúng rồi.
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{\left(a-b\right)^2}\ge6\) (4, not 1)
Theo giả thiết thì \(b=\frac{1}{a}\). Sau khi quy đồng cần chứng minh:
\(\frac{\left(a^4-4a^2+1\right)^2}{a^2\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)^2}\ge0\)
Anh tth làm cách khác dễ hỉu chứ cách này đau đầu quá
Theo ý cô Chi thì mình sẽ bổ sung thêm dấu "="
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2-2=\frac{4}{a^2+b^2-2}\\ab=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^2+b^2-2\right)^2=4\left(1\right)\\ab=1\end{cases}}\)
Từ\(\left(1\right)\Rightarrow a^2+b^2-2=2\)vì nếu \(a^2+b^2-2=-2\Leftrightarrow a^2+b^2=0\Leftrightarrow a=b=0\)(vô lí)
Ta được hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=4\\ab=1\end{cases}}\Rightarrow\left(a+b\right)^2=6\Rightarrow a+b=\sqrt{6}\)(Vì a, b thực dương)
Ta lại được hệ \(\hept{\begin{cases}a+b=\sqrt{6}\\ab=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)a, b là hai nghiệm của phương trình \(x^2-\sqrt{6}x+1=0\)
Ta có: \(\Delta=\left(\sqrt{6}\right)^2-4.1.1=2,\sqrt{\Delta}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)
Vậy \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{\left(a-b\right)^2}\ge6\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\);\(b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)hoặc \(a=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\);\(b=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)
