Question

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng : 

(a²+3)(b²+ 3)( c²+ 3) >= 4( a+ b+ c+1)²

 

Answer 1

ÁP DỤNG BĐT BUNHIA TA CÓ:
\(\left(a^2+1+1+1\right)\left(1+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2+1\right)\ge\left(1.a+\frac{b+c}{2}.1+\frac{b+c}{2}.1+1.1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+3\right)\left(2+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)

MẶT KHÁC ÁP DỤNG BĐT AM-GM TA CÓ:

\(\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)=3b^2+3c^2+b^2c^2+1+8=2b^2+2c^2+\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2c^2+1\right)+8\)

\(\ge2b^2+2c^2+2bc+2bc+8=2\left(b+c\right)^2+8=4\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+2\right)\)

NHƯ VẬY:

\(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+2\right)\left(a^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)

ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI a=b=c=1

Answer 2

Ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại trong ba số\(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) tồn tại ít nhất hai số có tích không âm. Không mất tính tổng quát,giả sử rằng \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8=4\left(a^2+b^2+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+1+c^2\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki suy ra \(VT\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\Rightarrow Q.E.D\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Đúng không ạ???