Từ giả thiết \(a+b+c=6\) ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=36=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)=P+ab+ac+bc\)
Hay \(P=36-ab-bc-ca\).
Vậy GTLN của P tương đương với GTNN của \(ab+bc+ca\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\) là số lớn nhất trong \(a,b,c\)
Thì \(a+b+c=6\le3a\), do đó \(4\ge a\ge2\)
Lại có: \(ab+bc+ca\ge ab+ca=a\left(b+c\right)=6\left(6-a\right)\ge8\) với \(4 \ge a \ge 2\)
Do đó GTNN của \(ab+bc+ca=8\), khi \(\left\{\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=0\end{matrix}\right.\)
Vậy GTLN của P là \(36-8=28\) khi \(\left\{\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=0\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}a+b+c=6\left(1\right)\\0\le a,b,c\le4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ(1)=> \(\left\{\begin{matrix}b+c=\left(6-a\right)\\b^2+c^2+bc=\left(6-a\right)^2-bc\end{matrix}\right.\)
\(P=a^2+\left(b^2+c^2+bc\right)+a\left(b+c\right)=a^2+\left[\left(6-a\right)^2-bc\right]+a\left(6-a\right)\)
\(P=\left(a^2-12a+36\right)-bc=\left(a-6\right)^2-bc\)
Từ (2)=> \(bc\ge0\) \(\Rightarrow P\le\left(a-6\right)^2\)
đạt được khi: \(b.c=0\Rightarrow\left[\begin{matrix}b=0\\c=0\end{matrix}\right.\) (3)
từ (1)&(3) \(\Rightarrow2\le a\le4\) (4)
P lớn nhất => !a-6! lớn nhất thủa mãn (4) => a=2 Từ (1)&(3)=>\(\left[\begin{matrix}b=4\\c=4\end{matrix}\right.\)
Kết luận:
Để P(a,b,c) đạt Max trong 3 số phải có 1 số =0 (cận bé của (2) ; Một số =4 (cận lớn của (2); một số thỏa mãn điều kiện (1)
Vậy: \(P_{max}\left(a,b,c\right)=P\left(4,2,0\right)=4^2+2^2+0^2+2.4+0+0=28\)
Đặt \(f\left(x\right)=x^2\) và \(a\ge b\ge c\)
Do đó, \(f\) là một hàm lồi và \((4,2,0)\succ(a,b,c)\)
Vậy, áp dụng BĐT Karamata ta có:
\(\Sigma\left(a^2+ab\right)=a^2+b^2+c^2+\frac{36-a^2-b^2-c^2}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+18\le\frac{1}{2}\left(4^2+2^2+0^2\right)+18=28\)
Này thì ý kiến
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2a+b}{2ab}=\left(a^2+3b^2\right)\left(3a^2+b^2\right)\\\dfrac{2a-b}{2ab}=2\left(b^2-a^2\right)\\\dfrac{2a+b}{2a-b}=\dfrac{3a^4+10a^2b^2+3a^4}{2\left(b^2-a^2\right)}=\dfrac{3\left(b^2-a^2\right)^2+16a^2b^2}{2\left(b^2-a^2\right)}\end{matrix}\right.\)\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2+3b^2\right)\left(3a^2+b^2\right)+2\left(b^2-a^2\right)=\dfrac{1}{2a}\\\left(a^2+3b^2\right)\left(3a^2+b^2\right)-2\left(b^2-a^2\right)=\dfrac{1}{b}\\\left(b^2-a^2\right)^2+\dfrac{2}{3}\left(b^2-a^2\right)=\dfrac{1}{6a}-\dfrac{16}{3}a^2b^2\\\left(b^2-a^2\right)^2-\dfrac{2}{3}\cdot\left(b^2-a^2\right)=\dfrac{1}{3b}-\dfrac{16}{3}a^2b^2\end{matrix}\right.\)
\(\left[{}\begin{matrix}\left(b^2-a^2+\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{6a}-\dfrac{16}{3}a^2b^2+\dfrac{1}{9}\\\left(b^2-a^2-\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{3b}-\dfrac{16}{3}a^2b^2+\dfrac{1}{9}\\\\\end{matrix}\right.\)
