Question

cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn không có hai số nào đồng thời =0và a²+b²+c²=2(ab+bc+ca).CMR

\(\sqrt{\frac{2ab}{a^2+b^2}}\)+\(\sqrt{\frac{2bc}{b^2+c^2}}\)+\(\sqrt{\frac{2ac}{a^2+c^2}}\)\(\ge\)1

Answer 1

Làm chữa lỗi phát:v Đến giờ mới nghĩ ra(thực ra là tình cờ xem lại ngày xưa:(

\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)2ab}}{a^2+b^2}\ge\Sigma\frac{2ab}{a^2+b^2}+3-3\)

\(=\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}-3\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3\)

\(=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}-3\)

\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}-3=1\)(qed)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 0 và các hoán vị (xét sơ sơ thôi chớ xét chi tiết em không biết làm đâu:v)

P.s: Chả biết có đúng hay không nữa:(( Lần này mà không đúng thì khổ.