Ta có : \(a;b;c>0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(b^2+c^2\ge2bc\Rightarrow a\left(b^2+c^2\right)\ge2abc\left(1\right)\)
\(c^2+a^2\ge2ac\Rightarrow b\left(c^2+a^2\right)\ge2abc\left(2\right)\)
\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow c\left(a^2+b^2\right)\ge2abc\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\ge2abc+2abc+2abc=6abc\)
\(\Rightarrowđpcm\)
\[ a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) \geq 6abc, \]
\[ a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2). \]
\( a(b^2+c^2) = ab^2 + ac^2 \).
1. \( ab^2 + ab^2 + ac^2 \geq 3\sqrt[3]{ab^2 \cdot ab^2 \cdot ac^2} = 3a b c \).
2. \( bc^2 + bc^2 + ba^2 \geq 3\sqrt[3]{bc^2 \cdot bc^2 \cdot ba^2} = 3b c a \).
3. \( ca^2 + ca^2 + cb^2 \geq 3\sqrt[3]{ca^2 \cdot ca^2 \cdot cb^2} = 3c a b \).
\[
(a b^2 + ab^2 + ac^2) + (bc^2 + bc^2 + ba^2) + (ca^2 + ca^2 + cb^2) \geq 3abc + 3abc + 3abc = 9abc.
\]
\[ a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) \]
thực tế lớn hơn hoặc bằng \( 9abc \).
Do bất đẳng thức cần chứng minh là \( a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) \geq 6abc \) và ta đã chứng minh được rằng nó lớn hơn hoặc bằng \( 9abc \), nên bất đẳng thức luôn đúng:
\[ a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) \geq 6abc. \]
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
