Question

Cho biểu thức A=\(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{x^2+1}{x^2-4}\left(x\ne2;x\ne-2\right)\)

CMR với mọi giá trị của x thoả mãn -2<x<2 và \(x\ne-1\) thì phân thức luôn nhận giá trị âm 

Answer 1

Ta có: \(A=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{x^2+1}{x^2-4}\)

\(=\dfrac{x+2+x-2+x^2+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+2x+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

Vì -2<x<2 nên x+2>0; x-2<0

=>(x-2)(x+2)<0

mà \(\left(x+1\right)^2>0\) với mọi x<>-1

nên \(A=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}< 0\)

=>A luôn nhận giá trị âm với mọi x thỏa mãn x<>-1 và -2<x<2