Question

cho ba số x>y>z>0 khôn âm.Chứng minh x+y+z\(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)   

Answer 1

Do \(x>y>z>0\), nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\x+z\ge2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\) (bất đẳng thức Cô-si)

Cộng ba bất đẳng thức theo từng vế, ta được:

\(x+y+y+z+x+z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\) (điều phải chứng minh).

Answer 2

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm, ta có:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$y+z\geq 2\sqrt{yz}$

$z+x\geq 2\sqrt{zx}$

$\Rightarrow x+y+y+z+z+x\geq 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$

$\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$