Question

Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh rằng \(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\) . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Mọi người giúp mình với ạ!

Answer 1

Ta có:

`(a^2+b^2+c^2)/3>=((a+b+c)/3)^2`

`(a^2+b^2+c^2)/3>=(a+b+c)^2/9`

`3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2`

`3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca`

`3(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2bc+2ca`

`2(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2bc+2ca`

`2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca>=0`

`(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ca+c^2)+(b^2-2bc+c^2)>=0`

`(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0`

`(a-b)^2>=0`

`(a-c)^2>=0`

`(b-c)^2>=0`

Suy ra: `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0` (đúng)

Dấu "=" xảy ra: `{(a-b=0),(b-c=0),(c-a=0):}`

`->a=b=c`