Giả sử : \(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow c\left(a^2+b^2\right)=a\left(b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c+b^2c=ab^2+ac^2\)
\(\Leftrightarrow a.ac+ac.c=ab^2+ac^2\)
\(\Leftrightarrow ab^2+ac^2=ab^2+ac^2\) (luôn đúng).
Vậy : Ta có đpcm
Cách khác:
$ac=b^2\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}$
Đặt $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=t\Rightarrow a=bt; b=ct$. Khi đó:
$\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{(bt)^2+b^2}{(ct)^2+c^2}=\frac{b^2(t^2+1)}{c^2(t^2+1)}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{(ct)^2}{c^2}=t^2(1)$
Lại có:
$\frac{a}{c}=\frac{bt}{c}=\frac{ct.t}{c}=t^2(2)$
Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.
