Question

Cho \(a,b\in Z\), \(a^3+b^3>0\)

\(CMR:a^3+b^3\ge a^2+b^2\)

Answer 1

KMTTQ, giả sử \(a\ge b\)

\(a;b>0\Rightarrow\) BĐT hiển nhiên đúng do \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)\ge0;\forall a;b\ge1\)

Với  \(a>0>b\Rightarrow\) đặt \(z=-b>0\)

Ta cần chứng minh \(a^3-z^3\ge a^2+z^2\Leftrightarrow a^3\ge z^3+z^2+a^2\)

Có \(a^3>\left(-b\right)^3=z^3\Rightarrow a>z\Rightarrow a\ge z+1\)

\(\Rightarrow z^3+z^2+a^2\le\left(a-1\right)^3+\left(a-1\right)^2+a^2\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(a^3\ge\left(a-1\right)^3+\left(a-1\right)^2+a^2\Leftrightarrow a\left(a-1\right)\ge0\) hiển nhiên đúng