Ap dung bdt Holder ta co
\(VP=\left(a^3+b^3+0^3\right)\left(b^3+y^3+0^3\right)\left(c^3+z^3+0^3\right)\ge\left(abc+xyz+0\right)^3=VT\)
P/s: Day la 1 he qua quen thuoc cua bdt Holder
Automa checking inequality. (Ảnh trong thống kê hỏi đáp)
bạn ơi mình mới lớp 9, bđt Holder là gì vậy
Ta có bất đẳng thức: \(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\ge\left(axm+byn+czp\right)^3\)(/*) (a, b, c, x, y, z, m, n, p > 0)
Thật vậy, áp dụng AM - GM, ta được: \(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}\ge\frac{3axm}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)(1) ;\(\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3}\ge\frac{3byn}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\) (2) ; \(\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3}\ge\frac{3czp}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)(3)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(3\ge\frac{3\left(axm+byn+czp\right)}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\ge\left(axm+byn+czp\right)^3\)
Vậy (/*) đúng
Áp dụng bất đẳng thức (/*), ta được: \(\left(a^3+x^3+0^3\right)\left(b^3+y^3+0^3\right)\left(z^3+x^3+0^3\right)\ge\left(abc+xyz+0\right)^3\)hay\(\left(a^3+x^3\right)\left(b^3+y^3\right)\left(z^3+x^3\right)\ge\left(abc+xyz\right)^3\)(đpcm)
