Question

Cho  \(a,b,c\ge0\)và \(\le2\)thỏa mãn : \(a+b+c=3\)

Chứng minh  \(a^2+b^2+c^2\le5\)

 

Answer 1

Ta có: để a²+b²+c² bé hoặc bằng 5 thì a+b+c=3 và phải đạt giá trị lớn nhất

suy ra 1 số =2 1 số =1 1 số = 0

2²+1²+0²=4+1+0=5

Vậy giá trị lớn nhất có thể đạt đc là 5 suy ra a²+b²+c² bé hoặc bằng 5(đpcm)

Answer 2

\(\left(a+b+c\right)^2=9\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=9\)

Có \(2\left(ab+bc+ac\right)\ge2.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=6\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\left(BĐTcosi\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

\(a^2+b^2+c^2\le9-6\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le9-6=3\)

Vậy .......

Answer 3

Do vai trò của \(a,b,c\)là như nhau nên ta có thể giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=1+x\\c=1-y\end{cases}}\Rightarrow b=1+y-x\)

Do \(0\le a,c\le2\Rightarrow x,y\in\left\{0;1\right\}\)

BĐT đã cho trở thành \(\left(1+x\right)^2+\left(1-y\right)^2+\left(1+y-x\right)^2\le5\)

\(\Leftrightarrow3+x^2+y^2+\left(y-x\right)^2+2\left(x+y\right)+2\left(y-x\right)\le5\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy\le1\)

Do \(x,y\in\left\{0;1\right\}\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\)

Mà \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge0\Rightarrow1+xy\ge x+y\ge x^2+y^2\)

Suy ra điều phải chứng minh 

Dấu "=" xảy ra khi \(x=1;y=1\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)=\left(0;1;2\right)\)và các hoán vị của bộ số này.