Question

Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn : a^2+b^2 =1 và a^4/c+b^4/d =1/(c+d) . Chứng minh răng : a^2/c+d/b^2 >= 2

Answer 1

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{c+d}=\frac{1}{c+d}\)

dấu = xảy ra khi\(\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{d}\Leftrightarrow a^2d=b^2c\)và \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

mà theo đề:\(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}=\frac{1}{c+d}\Leftrightarrow a^2d=b^2c\)

Áp dụng BĐT cauchy:\(\frac{a^2}{c}+\frac{d}{b^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2d}{b^2c}}=2\)

dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)